2. Leitungstheorie¶

[Mei92]

In der Leitungstheorie ist der Begin der Leitung Links. Also vom Verbraucher zum Generator hin. Strom und Spannung werden in Anhängigkeit der Position auf der Leitung \(l\) angegeben.

Abb. 2.1 Strom und Spannung auf einer Leitung¶

Die Leitung kann in kleine Leitungsteile zerlegt werden.

Abb. 2.2 Leitungssegment¶

2.1. Begriffe und Definitionen¶

Symbol	Beschreibung
\(l\)	Position auf der Leitung
\(\underline{U}(l)\)	Spannung an der Position \(l\) auf der Leitung
\(\underline{I}(l)\)	Strom an der Position \(l\) auf der Leitung
\(\underline{U}_h (l,t)\)	Spannung an der Position \(l\) zum Zeitpunkt \(t\) vom Generator zum Verbraucher laufend, \(h\) für hin
\(\underline{I}_h(l,t)\)	Strom an der Position \(l\) zum Zeitpunkt \(t\) vom Generator zum Verbraucher laufend, \(h\) für hin
\(\underline{U}_r(l,t)\)	Spannung an der Position \(l\) zum Zeitpunkt \(t\) vom Generator zum Verbraucher laufend, \(r\) für rück
\(\underline{I}_r(l,t)\)	Strom an der Position \(l\) zum Zeitpunkt \(t\) vom Generator zum Verbraucher laufend, \(r\) für rück
\(U_1\)	Spannung am Leitungseingang
\(U_2\)	Spannung am Leiungsausgang \(U_2 = U(l=0)\)
\(R'\)	Widerstandsbelag in \(\frac{\Omega}{m}\)
\(L'\)	Induktionsbelag in \(\frac{H}{m}\)
\(G'\)	Ableitungsbelag in \(\frac{S}{m}\)
\(C'\)	Kapazitätsbelag in \(\frac{F}{m}\)
\(Z_L\)	Leitungswiderstand
\(Z_2\)	Lastwiderstand
\(\gamma\)	Komplexe Ausbreitungsmaß
\(\lambda\)	Wellenlänge
\( r\)	Relfexionssfaktor
\( r(0)\)	Relfexionssfaktor Verbraucherseitig

Die Werte der Leitungsbeläge müssen durch Messung bestimmt werden. Typische Werte können aus der Tabelle entnommen werden. [Gra]

Abb. 2.3 Typische Werte für Leitungsbelege [Gra]¶

2.1.1. Leitungswiderstand¶

Z_LEq = Eq(Z_L,sqrt((Rs+j*w*Ls)/(Gs+j*w*Cs)))
display(Z_LEq)

\[\displaystyle \underline{Z}_L = \sqrt{\frac{i L´ \omega + R´}{i C´ \omega + G´}}\]

2.1.2. Reflexionsfaktor¶

eq2=Eq(S('r'),Ur/Uh)
display(eq2)

\[\displaystyle r = \frac{\underline{U}_r}{\underline{U}_h}\]

Verbraucherseitig vereinfacht sich der Reflexionsfaktor.

ref0Eq = Eq(ref0,(Z_2-Z_L)/(Z_2+Z_L))
display(ref0Eq)

\[\displaystyle r(0) = \frac{Z_{2} - \underline{Z}_L}{Z_{2} + \underline{Z}_L}\]

2.1.3. Wellenlänge¶

lamEq=Eq(lam,1/(f*sqrt(Ls*Cs)))
lamEq

\[\displaystyle \lambda = \frac{1}{f \sqrt{C´ L´}}\]

2.2. Leitungsabschlüsse¶

2.2.1. Beliebiger Abschluss¶

eq4=Eq(Ul,U_2*cos(2*pi*l/lam)+j*I_2*Z_L*sin(2*pi*l/lam))
display(eq4)
eq5=Eq(Il,I_2*cos(2*pi*l/lam)+j*U_2/Z_L*sin(2*pi*l/lam))
display(eq5)

\[\displaystyle \underline{U}(l) = i \underline{I}_2 \underline{Z}_L \sin{\left(\frac{2 \pi l}{\lambda} \right)} + \underline{U}_2 \cos{\left(\frac{2 \pi l}{\lambda} \right)}\]

\[\displaystyle \underline{I}(l) = \underline{I}_2 \cos{\left(\frac{2 \pi l}{\lambda} \right)} + \frac{i \underline{U}_2 \sin{\left(\frac{2 \pi l}{\lambda} \right)}}{\underline{Z}_L}\]

Mit dem Zusammenhang \(I_2 = \frac{U_2}{Z_2}\) kann die Gleichung für den Strom und die Spannung auf der Leitung wie folgt umgeformt werden.

UlEq=Eq(Ul,U_2*(cos(2*pi*l/lam)+j*Z_L/Z_2*sin(2*pi*l/lam)))
display(UlEq)
IlEq=Eq(Il,I_2*(cos(2*pi*l/lam)+j*Z_2/Z_L*sin(2*pi*l/lam)))
display(IlEq)

\[\displaystyle \underline{U}(l) = \underline{U}_2 \left(\cos{\left(\frac{2 \pi l}{\lambda} \right)} + \frac{i \underline{Z}_L \sin{\left(\frac{2 \pi l}{\lambda} \right)}}{Z_{2}}\right)\]

\[\displaystyle \underline{I}(l) = \underline{I}_2 \left(\frac{i Z_{2} \sin{\left(\frac{2 \pi l}{\lambda} \right)}}{\underline{Z}_L} + \cos{\left(\frac{2 \pi l}{\lambda} \right)}\right)\]

2.2.1.1. Grafische Darstellung¶

Damit kann die Spannung und der Strom über die Leitung angezeigt werden. Die hier angeführten Werte passen in etwa zu einem Koaxialkabel mit vernachlässigten Ohmschen Verlusten.

Tipp

Durch anklicken der Rakete rechts oben und anschließendem öffnen des Notebooks in Binder wird das Notebook interaktiv! Verschiedene Ergebnisse für verscheidene Werte können damit betrachtet werden.

LsN=2.5 * 10**-9*10**2 # H/m
CsN=1 * 10**-12*10**2 # F/m
RsN=0.01 # Ohm/m
GsN=0.01 # S/m
fN=10**6 # Hz
Z_2N= 0.01 + j*0.01  #Ohm für Anpassung 9.15424828777196+8.54244695913882*j 
I_2N=1 #A

def plot_wire(lamEq,Z_LEq,UlEq,IlEq,LsN,CsN,RsN,GsN,fN,Z_2N,I_2N,**kwargs):
    tN = 0
    for key, value in kwargs.items():
        if key == 'tN':
            tN = value
            break
                
    wN=2*np.pi*fN
    U_2N=I_2N*Z_2N

    lamN = float(lamEq.rhs.subs({Cs:CsN,Ls:LsN,f:fN}))
    display(Latex('$ \\lambda = ' + str(lamN) + ' \\textrm{m}$'))
    
    Z_LEqN = (Z_LEq.rhs.subs({Cs:CsN,Ls:LsN,Rs:RsN,Gs:GsN,w:wN}))
    display(Latex('$ Z_L = ( ' + str(re(Z_LEqN.evalf())) + ' + j \cdot '+ str(im(Z_LEqN.evalf())) + ') \ \Omega$'))
    
    ref0N = abs(ref0Eq.rhs.subs({Z_2:Z_2N,Z_L:Z_LEqN}))
    display(Latex('$ r(0) = ' + str(ref0N.evalf()) + ' $'))

    l_array = np.arange(0,lamN,lamN/500) #generate array
    #print(l_array)

    # Voltage
    eq9 = abs(UlEq.rhs.subs({lam:lamEq.rhs,Z_L:Z_LEq.rhs}))*cos(w*t)
    #display(eq9)
    eq10 = eq9.subs({Cs:CsN,Ls:LsN,Rs:RsN,Gs:GsN,w:wN,Z_2:Z_2N,U_2:U_2N,f:fN,t:tN})
    #display(eq10)

    UlN=lambdify(l, (eq10),"numpy") #convert sympy to numpy
    #print(UlN(l_array))

    #Current
    eq11 = abs(IlEq.rhs.subs({lam:lamEq.rhs,Z_L:Z_LEq.rhs}))*cos(w*t)
    #display(eq11)
    eq12 = eq11.subs({Cs:CsN,Ls:LsN,Rs:RsN,Gs:GsN,w:wN,Z_2:Z_2N,U_2:U_2N,f:fN,I_2:I_2N,t:tN})
    #display(eq12)

    IlN=lambdify(l, (eq12),"numpy") #convert sympy to numpy
    #print(UlN(l_array))

    fig, ax1 = plt.subplots(1, 1)
    fig.set_size_inches(10, 10)
    fig.suptitle('Strom- und Spannungsamplitudenverlauf')
    ax2 = ax1.twinx()

    p1 = ax1.plot(l_array,UlN(l_array),label='Spannung')
    ax1.set_ylabel('Voltage in V')
    ax1.set(xlabel='Länge in m',xticks=[0,lamN/4,lamN/2,3/4*lamN,lamN],xticklabels=[0,'$\lambda /4 $','$\lambda/2$','$3/4\ \lambda$','$\lambda$'])
    ax1.grid()
    #ax1.legend('Spannung',loc=7,)
    ax1.invert_xaxis()

    p2 = ax2.plot(l_array,IlN(l_array),'r--',label='Strom')
    ax2.set_ylabel('Current in A')
    #ax2.legend('Strom',)
    ax2.invert_xaxis()
    #ax1.legend([p1,p2],['Spannung','Strom'])
    fig.legend()
    fig.show()
    
plot_wire(lamEq,Z_LEq,UlEq,IlEq,LsN,CsN,RsN,GsN,fN,Z_2N,I_2N)

\[ \lambda = 200.0 \textrm{m}\]

\[ Z_L = ( 9.15424828777196 + j \cdot 8.54244695913882) \ \Omega\]

\[ r(0) = 0.997744934777933 \]

2.2.2. Welle im zeitlichen Verlauf¶

Um die Zeitabhängigkeit zu erhalten müssen die Gleichungen mit \(e^{j\cdot \omega \cdot t}\) multipliziert werden.

eq20=Eq(Ult,Ul*exp(j*w*t))
display(eq20)
eq21=Eq(Ilt,Il*exp(j*w*t))
display(eq21)
UltEq = eq20.subs(Ul,UlEq.rhs)
IltEq = eq21.subs(Il,IlEq.rhs)

\[\displaystyle \underline{U}(l,t) = \underline{U}(l) e^{i \omega t}\]

\[\displaystyle \underline{I}(l,t) = \underline{I}(l) e^{i \omega t}\]

plot_wire(lamEq,Z_LEq,UltEq,IltEq,LsN,CsN,RsN,GsN,fN,Z_2N,I_2N,tN=1/(10*fN))

\[ \lambda = 200.0 \textrm{m}\]

\[ Z_L = ( 9.15424828777196 + j \cdot 8.54244695913882) \ \Omega\]

\[ r(0) = 0.997744934777933 \]

wN=2*np.pi*fN
U_2N=I_2N*Z_2N



lamN = float(lamEq.rhs.subs({Cs:CsN,Ls:LsN,f:fN}))
display(Latex('$ \\lambda = ' + str(lamN) + ' \\textrm{m}$'))

Z_LEqN = (Z_LEq.rhs.subs({Cs:CsN,Ls:LsN,Rs:RsN,Gs:GsN,w:wN}))
display(Latex('$ Z_L = (' + str(re(Z_LEqN.evalf())) + ' + j \cdot '+ str(im(Z_LEqN.evalf())) + ') \ \Omega $'))

ref0N = abs(ref0Eq.rhs.subs({Z_2:Z_2N,Z_L:Z_LEqN}))
display(Latex('$ r(0) = ' + str(ref0N.evalf()) + ' $'))

l_array = np.arange(0,lamN,lamN/500) #generate array
dt = 1/(fN*100)
t_array =np.arange(0,1/fN,dt)
#print(l_array)
#print(t_array)


eq9 = abs(UlEq.rhs.subs({lam:lamEq.rhs,Z_L:Z_LEq.rhs}))*cos(w*t)
#display(eq9)
eq10 = eq9.subs({Cs:CsN,Ls:LsN,Rs:RsN,Gs:GsN,w:wN,Z_2:Z_2N,U_2:U_2N,f:fN,t:0})
#display(eq10)

UlN=lambdify(l, (eq10),"numpy") #convert sympy to numpy

#print(UlN(l_array))

#Current
eq11 = abs(IlEq.rhs.subs({lam:lamEq.rhs,Z_L:Z_LEq.rhs}))*cos(w*t)
#display(eq11)
eq12 = eq11.subs({Cs:CsN,Ls:LsN,Rs:RsN,Gs:GsN,w:wN,Z_2:Z_2N,U_2:U_2N,f:fN,I_2:I_2N,t:0})
#display(eq12)

IlN=lambdify(l, (eq12),"numpy") #convert sympy to numpy
#print(UlN(l_array))


fig, ax1 = plt.subplots(1, 1)
ax2 = ax1.twinx()

ax1.set(xlim=(0, lamN), ylim=(-max(UlN(l_array)), max(UlN(l_array))),label='Spannung')
ax1.grid()
ax1.invert_xaxis
line1, = ax1.plot([], [], 'b', lw=2)
text = ax1.text(3/4*lamN, 2.05, '')
ax1.set(xlabel='Länge in m',xticks=[0,lamN/4,lamN/2,3/4*lamN,lamN],xticklabels=[0,'$\lambda /4 $','$\lambda/2$','$3/4\ \lambda$','$\lambda$'])
ax1.set_ylabel('Voltage in V')

ax2.set(xlim=(0, lamN), ylim=(-max(IlN(l_array)), max(IlN(l_array))),label='Strom')
ax2.set(xlabel='Länge in m',xticks=[0,lamN/4,lamN/2,3/4*lamN,lamN],xticklabels=[0,'$\lambda /4 $','$\lambda/2$','$3/4\ \lambda$','$\lambda$'])
line2, = ax2.plot([], [], 'r--', lw=2)
ax2.invert_xaxis()
ax2.set_ylabel('Strom in A')

#fig.legend()
#fig.show()

time_template = 'time = %.2e $\mu $s'

def init():
#    line, = ax.plot([], [], 'b', lw=2)
    return line1, line2, text

def animate(i):
    tN = t_array[i]
    #print(i)
    #print(tN)
    x = l_array
    
    #display(eq9)
    eq10 = eq9.subs({Cs:CsN,Ls:LsN,Rs:RsN,Gs:GsN,w:wN,Z_2:Z_2N,U_2:U_2N,f:fN,t:tN})
    #display(eq10)

    UlN=lambdify(l, (eq10),"numpy") #convert sympy to numpy
    #print(UlN(l_array))
    
    y1 = UlN(l_array)
    
    #Current
    eq11 = abs(IlEq.rhs.subs({lam:lamEq.rhs,Z_L:Z_LEq.rhs}))*cos(w*t)
    #display(eq11)
    eq12 = eq11.subs({Cs:CsN,Ls:LsN,Rs:RsN,Gs:GsN,w:wN,Z_2:Z_2N,U_2:U_2N,f:fN,I_2:I_2N,t:tN})
    #display(eq12)

    IlN=lambdify(l, (eq12),"numpy") #convert sympy to numpy
    #print(UlN(l_array))
    
    y2 = IlN(l_array)
    
       
    
    line1.set_data(x, y1)
    line2.set_data(x, y2)
    text.set_text(time_template % (i*(10**6)*dt))
    return line1, line2, text

anim = animation.FuncAnimation(fig, animate, np.arange(1, len(t_array)),interval=50, blit=True, init_func=init)

plt.close()

HTML(anim.to_jshtml())

\[ \lambda = 200.0 \textrm{m}\]

\[ Z_L = (9.15424828777196 + j \cdot 8.54244695913882) \ \Omega \]

\[ r(0) = 0.997744934777933 \]

2.2.3. Welle in Abhängigkeit des Lastwiderstandes¶

wN=2*np.pi*fN
U_2N=I_2N*Z_2N



lamN = float(lamEq.rhs.subs({Cs:CsN,Ls:LsN,f:fN}))
display(Latex('$ \\lambda = ' + str(lamN) + ' \\textrm{m}$'))

Z_LEqN = (Z_LEq.rhs.subs({Cs:CsN,Ls:LsN,Rs:RsN,Gs:GsN,w:wN}))
display(Latex('$ Z_L = (' + str(re(Z_LEqN.evalf())) + ' + j \cdot '+ str(im(Z_LEqN.evalf())) + ') \ \Omega $'))

ref0N = abs(ref0Eq.rhs.subs({Z_2:Z_2N,Z_L:Z_LEqN}))
#display(Latex('$ r(0) = ' + str(ref0N.evalf()) + ' $'))

l_array = np.arange(0,lamN,lamN/500) #generate array
dt = 1/(fN*100)
t_array =np.arange(0,1/fN,dt)
Z_2_data = np.arange(0.01,10*re(Z_LEqN.evalf()),1/10*re(Z_LEqN.evalf()))

Z_2_array = Z_2_data + j*Z_2_data
#print(l_array)
#print(t_array)
#print(Z_2_array)


eq9 = (UlEq.rhs.subs({lam:lamEq.rhs,Z_L:Z_LEq.rhs}))
#display(eq9)
eq10 = eq9.subs({Cs:CsN,Ls:LsN,Rs:RsN,Gs:GsN,w:wN,Z_2:90+90*I,U_2:I_2N*Z_2N,f:fN,t:0})
#display(eq10)

UlN=lambdify(l, abs(eq10),"numpy") #convert sympy to numpy

#print(UlN(l_array))

#Current
eq11 = (IlEq.rhs.subs({lam:lamEq.rhs,Z_L:Z_LEq.rhs}))
#display(eq11)
eq12 = eq11.subs({Cs:CsN,Ls:LsN,Rs:RsN,Gs:GsN,w:wN,Z_2:100+100*I,U_2:I_2N*Z_2N,f:fN,I_2:I_2N,t:0})
#display(eq12)

IlN=lambdify(l, abs(eq12),"numpy") #convert sympy to numpy
#print(UlN(l_array))


fig, ax1 = plt.subplots(1, 1)
ax2 = ax1.twinx()

#ax1.set(xlim=(0, lamN), ylim=(-max(UlN(l_array)), max(UlN(l_array))))
ax1.set(xlim=(0, lamN), ylim=(0, 200))
ax1.grid()
ax1.invert_xaxis
line1, = ax1.plot([], [], 'b', lw=2)
text = ax1.text(3/4*lamN, 2.05, '')
ax1.set(xlabel='Länge in m',xticks=[0,lamN/4,lamN/2,3/4*lamN,lamN],xticklabels=[0,'$\lambda /4 $','$\lambda/2$','$3/4\ \lambda$','$\lambda$'])

ax2.set(xlim=(0, lamN), ylim=(-max(IlN(l_array)), max(IlN(l_array))))
ax2.set(xlabel='Länge in m',xticks=[0,lamN/4,lamN/2,3/4*lamN,lamN],xticklabels=[0,'$\lambda /4 $','$\lambda/2$','$3/4\ \lambda$','$\lambda$'])
line2, = ax2.plot([], [], 'r--', lw=2)
ax2.invert_xaxis()

ax1.set_ylabel('Voltage in V')
ax2.set_ylabel('Strom in A')

text_template = 'r(0) = %.2f'

def init():
#    line, = ax.plot([], [], 'b', lw=2)
    return line1, line2, text

def animate(i):
    tN = 0
    Z_2N = Z_2_array[i]
    U_2N=I_2N*Z_2N
    #print(i)
    #print(Z_2N)
    x = l_array
    
    # Voltage
    eq9 = (UlEq.rhs.subs({lam:lamEq.rhs,Z_L:Z_LEq.rhs}))
    #display(eq9)
    eq10 = eq9.subs({Cs:CsN,Ls:LsN,Rs:RsN,Gs:GsN,w:wN,Z_2:Z_2N,U_2:I_2N*Z_2N,f:fN,t:tN})
    #display(eq10)

    UlN=lambdify(l, abs(eq10),"numpy") #convert sympy to numpy
    #print(UlN(l_array))
    
    y1 = UlN(l_array)

    #Current
    eq11 = (IlEq.rhs.subs({lam:lamEq.rhs,Z_L:Z_LEq.rhs}))
    #display(eq11)
    eq12 = eq11.subs({Cs:CsN,Ls:LsN,Rs:RsN,Gs:GsN,w:wN,Z_2:Z_2N,U_2:I_2N*Z_2N,f:fN,I_2:I_2N,t:tN})
    #display(eq12)

    IlN=lambdify(l, abs(eq12),"numpy") #convert sympy to numpy
    #print(UlN(l_array))
        
    y2 = IlN(l_array)
    
    ref0N = abs(ref0Eq.rhs.subs({Z_2:Z_2N,Z_L:Z_LEqN})).evalf()
    
    line1.set_data(x, y1)
    line2.set_data(x, y2)
    text.set_text(text_template % (ref0N))
    return line1, line2, text

anim = animation.FuncAnimation(fig, animate, np.arange(0, len(Z_2_array)),interval=25, blit=True, init_func=init)

plt.close()

HTML(anim.to_jshtml())

\[ \lambda = 200.0 \textrm{m}\]

\[ Z_L = (9.15424828777196 + j \cdot 8.54244695913882) \ \Omega \]

KSN

2. Leitungstheorie¶

2.1. Begriffe und Definitionen¶

2.1.1. Leitungswiderstand¶

2.1.2. Reflexionsfaktor¶

2.1.3. Wellenlänge¶

2.2. Leitungsabschlüsse¶

2.2.1. Beliebiger Abschluss¶

2.2.1.1. Grafische Darstellung¶

2.2.2. Welle im zeitlichen Verlauf¶

2.2.3. Welle in Abhängigkeit des Lastwiderstandes¶